第45章 微分(2 / 2)

“x,我们代表的是位置,比如说,假设我们在路上每隔一段距离,比如说十里路,就设置一个路标,上面写着这里的里程数,比如说,从出发点,0,然后是10、20、30这样,而在它们中间,当然可能也有我们之前讲到的那些类似于不是一个整数的,比如说根号2里。”

“总之,这些都不管,那x的单位就是:里。”

“然后我们想象一下,当一个人在这么一段路上走的时候,他是不是每一个时间点,都对应着一个里数。”

“现如今我们再定义一个速度的概念,什么是速度,就是路程除以时间。”

“好比说:你们两位,现如今离家有三十里,然后回去的话,走路回去的话,要三天。”

“那么我们就说,你们回家的平均速度,就是三十里除以三天,每天走十里路。”

“现在我们再假设一下,我们要是不想知道得这么粗糙,我们要想知道的是,你们二人每一瞬间,不是一天的平均速度,而是每一个瞬间的速度,这个式子又要如何表示?”

“按照前面的例子,是不是就是,如图。”

“dx除以dt,在一滴滴的时间之内,走了一滴滴的路。然后单位是,按照上面单位,结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”

“通过这个式子,我们是不是就可以求得,某个人在某一瞬间很短很短的时间之内,他的速度。”

“当然!自古以来,就有一个诡论,那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来,画下来,而且我们假设它可以被画下来,那么,假如说每一瞬间,我们在画上都没有动过,那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”

“其实实际情况自然是,我们不可能在每一瞬间都没有动,我们还是会动的。”

“而接下来我们说的这个,就是为了解决这个问题,如下所示:”

图。

“我们计算速度,有这么一条公式,移动过的距离x(t)-x(a),除以时间变化t-a,那我们要想知道,我们在很短很短的时间,我们的速度,虽然我们已经有了上面这个式子,可问题是,这个很短很短的时间到底是多少。”

“有人说,很短很短的时间是眨一下眼的功夫,也有人不同意,说很短很短的时间是喜鹊扇一下翅膀所需要的时间,那么,我们该如何定义这个很短很短的时间,才能够让所有的人都信服。”

“那我们就可以让这个式子当中的t=a,t=a的意思,就是说,我让t就是a,这样大家面对这个很短很短的时间,就不会说,t-a到底是不是就是已经很短很短了。”

“因为我们让t=a,那就已经是变得不可再短了,是也不是?”

“但是在数术上,如果让t=a,我们没有办法把这个式子算出来。”

“上面是零,下面是零,零除以零等于多少?可我们还是想让这个式子能被算出来。”

“所以,在这里,我们再次引入一个新的符号,来表示我们接下来要做的事。”

图。

“我们就用这个形式写出来,表示我们接下来要做的事。”

“而且,我们将这个过程,称之为微分。”

“至于前面我们说的面积求和,则是积分。”

“那么问题来了,这两个东西加起来,合称‘微积分’,接下来要怎么用。”

“我们还是刚刚的例子,计算瞬时速度,也就是在一段很短很短时间的速度,这个速度是通过路程除以时间,微分得来的。”

“微分所记录的是每一个很短很短的时间,人所走过时的速度。”

“现在我假设,之前积分的图,这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”

“现在我要求,人在某一段时间之内,也就是由a到b,他移动了多少路程,该怎么求?”

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